简易PID算法的快速扫盲(超详细+过程推导+C语言程序)

网上关于PID算法的文章很多,但是感觉有必要自己再进行一次总结,抽丝剥茧地重新认识了一下PID

文章目录1 前言2 开环控制3 闭环控制4 PID4.1 系统架构4.2 理论基础4.3 离散化4.4 伪算法5 C++实现6 总结

简易PID算法的快速扫盲(超详细+过程推导+C语言程序)

1 前言

控制系统通常根据有没有反馈会分为开环系统和闭环系统,在闭环系统的控制中,PID算法非常强大,其三个部分分别为;

P:积分环节;
I:比例环节;
D:微分环节;

PID算法可以自动对控制系统进行准确且迅速的校正,因此被广泛地应用于工业控制系统。

2 开环控制

首先来看开环控制系统,如下图所示,隆哥蒙着眼,需要走到虚线旗帜所表示的目标位置,由于缺少反馈(眼睛可以感知当前距离和位置,由于眼睛被蒙上没有反馈,所以这也是一个开环系统),最终隆哥会较大概率偏离预期的目标,可能会运行到途中实线旗帜所表示的位置。

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开环系统的整体结构如下所示;

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这里做一个不是很恰当的比喻;

Input:告诉隆哥目标距离的直线位置(10米);
Controller:隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步;
Process:双腿作为执行机构,输出了相应的步数,但是最终仍然偏离了目标;

看来没有反馈的存在,很难准确到达目标位置。

3 闭环控制

所以为了准确到达目标位置,这里就需要引入反馈,具体如下图所示;

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在这里继续举个不怎么恰当的比喻;隆哥重获光明之后,基本可以看到目标位置了;

第一步Input:告诉隆哥目标距离的直线位置(10米);
第二步Controller:隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步;
第三步Process:双腿作为执行机构,输出了相应的步数,但是最终仍然偏离了目标;
第四步Feedback:通过视觉获取到目前已经前进的距离,(比如前进了2米,那么还有8米的偏差);
第五步err:根据偏差重新计算所需要的步数,然后重复上述四个步骤,最终隆哥达到最终的目标位置。

4 PID
4.1 系统架构

虽然在反馈系统下,隆哥最终到达目标位置,但是现在又来了新的任务,就是又快又准地到达目标位置。所以这里隆哥开始采用PID Controller,只要适当调整PID的参数,就可以到达目标位置,具体如下图所示;

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隆哥为了最短时间内到达目标位置,进行了不断的尝试,分别出现了以下几种情况;

跑得太快,最终导致冲过了目标位置还得往回跑;
跑得太慢,最终导致到达目标位置所用时间太长;

经过不断的尝试,终于找到了最佳的方式,其过程大概如下图所示;
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这里依然举一个不是很恰当的比喻;

第一步:得到与目标位置的距离偏差(比如最开始是10米,后面会逐渐变小);
第二步:根据误差,预估需要多少速度,如何估算呢,看下面几步;

P比例则是给定一个速度的大致范围,满足下面这个公式;

Kpe(t)K_p*e(t)

Kp​∗e(t)
因此比例作用相当于某一时刻的偏差(err)与比例系数

KpK_p

Kp​的乘积,具体如下所示;

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绿色线为上述例子中从初始位置到目标位置的距离变化;
红色线为上述例子中从初始位置到目标位置的偏差变化,两者为互补的关系;

I积分则是误差在一定时间内的和,满足以下公式;

Ki0te(τ)dτK_i\int_{_0}^te(\tau)d\tau

Ki​∫0​t​e(τ)dτ

如下图所示;简易PID算法的快速扫盲(超详细+过程推导+C语言程序)
红色曲线阴影部分面积即为积分作用的结果,其不断累积的误差,最终乘以积分系数

KiK_i

Ki​就得到了积分部分的输出;

D微分则是误差变化曲线某处的导数,或者说是某一点的斜率,因此这里需要引入微分;

Kdde(t)dtK_d \cfrac{de(t)}{dt}

Kd​dtde(t)​
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从图中可知,当偏差变化过快,微分环节会输出较大的负数,作为抑制输出继续上升,从而抑制过冲。

综上,

KpKiKdK_p,K_i,K_d

Kp​,Ki​,Kd​,分别增加其中一项参数会对系统造成的影响总结如下表所示;

参数 上升时间 超调量 响应时间 稳态误差 稳定性 KpK_p

Kp​
减少
增加
小变化
减少
降级

KiK_i

Ki​
减少
增加
增加
消除
降级

KdK_d

Kd​
微小的变化
减少
减少
理论上没有影响

KdK_d

Kd​小,稳定性会提升

4.2 理论基础

上面扯了这么多,无非是为了初步理解PID在负反馈系统中的调节作用,下面开始推导一下算法实现的具体过程;PID控制器的系统框图如下所示;

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因此不难得出输入

e(t)e(t)

e(t)和输出

u(t)u(t)

u(t)的关系;

u(t)=Kpe(t)+Ki0te(τ)dτ+Kdde(t)dtu(t) = K_pe(t)+K_i\int_0^te(\tau)d\tau+K_d\cfrac{de(t)}{dt}

u(t)=Kp​e(t)+Ki​∫0t​e(τ)dτ+Kd​dtde(t)​

KpK_p

Kp​是比例增益;

KiK_i

Ki​是积分增益;

KdK_d

Kd​是微分增益;

4.3 离散化

在数字系统中进行PID算法控制,需要对上述算法进行离散化;假设系统采样时间为

Δt\Delta t

Δt
则将输入

e(t)e(t)

e(t)序列化得到;

(e0,e1,e2,,en2,,en1,en)(e_0,e_1,e_2,\cdots,e_{n-2},,e_{n-1},e_{n})

(e0​,e1​,e2​,⋯,en−2​,,en−1​,en​)

将输出

u(t)u(t)

u(t)序列化得到;

(u0,u1,u2,,un2,,un1,un)(u_0,u_1,u_2,\cdots,u_{n-2},,u_{n-1},u_{n})

(u0​,u1​,u2​,⋯,un−2​,,un−1​,un​)

比例项:

Kpe(t)KpekK_pe(t)\xrightarrow{离散化}K_pe_k

Kp​e(t)离散化​Kp​ek​
积分项:

Ki0tke(τ)dτKii=1ke(i)ΔtK_i\int_0^{t_k}e(\tau)d\tau\xrightarrow{离散化}K_i\displaystyle\sum_{i=1}^ke(i)\Delta t

Ki​∫0tk​​e(τ)dτ离散化​Ki​i=1∑k​e(i)Δt
微分项:

Kdde(tk)dtKde(k)e(k1)ΔtK_d\cfrac{de(t_k)}{dt}\xrightarrow{离散化}K_d\cfrac{e(k) -e(k-1)}{\Delta t}

Kd​dtde(tk​)​离散化​Kd​Δte(k)−e(k−1)​

所以最终可以得到式①,也就是网上所说的位置式PID:

u(k)=Kpek+Kii=1ke(i)Δt+Kde(k)e(k1)Δt
\color{#0000FF} u(k)=K_pe_k+K_i\displaystyle\sum_{i=1}^ke(i)\Delta t+K_d\cfrac{e(k) -e(k-1)}{\Delta t}

u(k)=Kp​ek​+Ki​i=1∑k​e(i)Δt+Kd​Δte(k)−e(k−1)​
将式①再做一下简化;

Δu(k)=u(k)u(k1)
\Delta u(k) = u(k) – u(k-1)

Δu(k)=u(k)−u(k−1)
最终得到增量式PID的离散公式如下:

Δu(k)=Kp(e(k)e(k1))+Kie(k)+Kd(e(k)2e(k1)+e(k2))
\Delta u(k)=K_p(e(k)-e(k-1))+K_ie(k)+K_d \Big( e(k)-2e(k-1)+e(k-2) \Big)

Δu(k)=Kp​(e(k)−e(k−1))+Ki​e(k)+Kd​(e(k)−2e(k−1)+e(k−2))

4.4 伪算法

这里简单总结一下增量式PID实现的伪算法;


previous_error := 0 //上一次偏差
integral := 0 //积分和

//循环
//采样周期为dt
loop:
//setpoint 设定值
//measured_value 反馈值
error := setpoint − measured_value //计算得到偏差
integral := integral + error × dt //计算得到积分累加和
derivative := (error − previous_error) / dt //计算得到微分
output := Kp × error + Ki × integral + Kd × derivative //计算得到PID输出
previous_error := error //保存当前偏差为下一次采样时所需要的历史偏差
wait(dt) //等待下一次采用
goto loop


5 C++实现

这里是增量式PID算法的C语言实现;

pid.cpp

#ifndef _PID_SOURCE_
#define _PID_SOURCE_

#include <iostream>
#include <cmath>
#include "pid.h"

using namespace std;

class PIDImpl
{
public:
PIDImpl( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki );
~PIDImpl();
double calculate( double setpoint, double pv );

private:
double _dt;
double _max;
double _min;
double _Kp;
double _Kd;
double _Ki;
double _pre_error;
double _integral;
};

PID::PID( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki )
{
pimpl = new PIDImpl(dt,max,min,Kp,Kd,Ki);
}
double PID::calculate( double setpoint, double pv )
{
return pimpl->calculate(setpoint,pv);
}
PID::~PID()
{
delete pimpl;
}

/**
* Implementation
*/
PIDImpl::PIDImpl( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki ) :
_dt(dt),
_max(max),
_min(min),
_Kp(Kp),
_Kd(Kd),
_Ki(Ki),
_pre_error(0),
_integral(0)
{
}

double PIDImpl::calculate( double setpoint, double pv )
{

// Calculate error
double error = setpoint - pv;

// Proportional term
double Pout = _Kp * error;

// Integral term
_integral += error * _dt;
double Iout = _Ki * _integral;

// Derivative term
double derivative = (error - _pre_error) / _dt;
double Dout = _Kd * derivative;

// Calculate total output
double output = Pout + Iout + Dout;

// Restrict to max/min
if( output > _max )
output = _max;
else if( output < _min )
output = _min;

// Save error to previous error
_pre_error = error;

return output;
}

PIDImpl::~PIDImpl()
{
}

#endif

pid.h

#ifndef _PID_H_
#define _PID_H_

class PIDImpl;
class PID
{
public:
// Kp - proportional gain
// Ki - Integral gain
// Kd - derivative gain
// dt - loop interval time
// max - maximum value of manipulated variable
// min - minimum value of manipulated variable
PID( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki );

// Returns the manipulated variable given a setpoint and current process value
double calculate( double setpoint, double pv );
~PID();

private:
PIDImpl *pimpl;
};

#endif

pid_example.cpp

#include "pid.h"
#include <stdio.h>

int main() {

PID pid = PID(0.1, 100, -100, 0.1, 0.01, 0.5);

double val = 20;
for (int i = 0; i < 100; i++) {
double inc = pid.calculate(0, val);
printf("val:% 7.3f inc:% 7.3f\n", val, inc);
val += inc;
}

return 0;
}

编译并测试;

g++ -c pid.cpp -o pid.o
# To compile example code:
g++ pid_example.cpp pid.o -o pid_example

6 总结

本文总结了PID控制器算法在闭环系统中根据偏差变化的具体调节作用,每个环节可能对系统输出造成什么样的变化,给出了位置式和增量式离散PID算法的推导过程,并给出了位置式算法的C++程序实现。

由于作者能力和水平有限,文中难免存在错误和纰漏,请不吝赐教。

原创:https://www.panoramacn.com
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