简易PID算法的快速扫盲（超详细+过程推导+C语言程序）-源码网每日更新网站源码模板！

网上关于PID算法的文章很多，但是感觉有必要自己再进行一次总结，抽丝剥茧地重新认识了一下PID；

文章目录1 前言2 开环控制3 闭环控制4 PID4.1 系统架构4.2 理论基础4.3 离散化4.4 伪算法5 C++实现6 总结

简易PID算法的快速扫盲（超详细+过程推导+C语言程序）

1 前言

控制系统通常根据有没有反馈会分为开环系统和闭环系统，在闭环系统的控制中，PID算法非常强大，其三个部分分别为；

P：积分环节；
I：比例环节；
D：微分环节；

PID算法可以自动对控制系统进行准确且迅速的校正，因此被广泛地应用于工业控制系统。

2 开环控制

首先来看开环控制系统，如下图所示，隆哥蒙着眼，需要走到虚线旗帜所表示的目标位置，由于缺少反馈（眼睛可以感知当前距离和位置，由于眼睛被蒙上没有反馈，所以这也是一个开环系统），最终隆哥会较大概率偏离预期的目标，可能会运行到途中实线旗帜所表示的位置。

简易PID算法的快速扫盲（超详细+过程推导+C语言程序）

开环系统的整体结构如下所示；

简易PID算法的快速扫盲（超详细+过程推导+C语言程序）
这里做一个不是很恰当的比喻；

Input：告诉隆哥目标距离的直线位置（10米）；
Controller：隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步；
Process：双腿作为执行机构，输出了相应的步数，但是最终仍然偏离了目标；

看来没有反馈的存在，很难准确到达目标位置。

3 闭环控制

所以为了准确到达目标位置，这里就需要引入反馈，具体如下图所示；

简易PID算法的快速扫盲（超详细+过程推导+C语言程序）
在这里继续举个不怎么恰当的比喻；隆哥重获光明之后，基本可以看到目标位置了；

第一步Input：告诉隆哥目标距离的直线位置（10米）；
第二步Controller：隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步；
第三步Process：双腿作为执行机构，输出了相应的步数，但是最终仍然偏离了目标；
第四步Feedback：通过视觉获取到目前已经前进的距离，（比如前进了2米，那么还有8米的偏差）；
第五步err：根据偏差重新计算所需要的步数，然后重复上述四个步骤，最终隆哥达到最终的目标位置。

4 PID
4.1 系统架构

虽然在反馈系统下，隆哥最终到达目标位置，但是现在又来了新的任务，就是又快又准地到达目标位置。所以这里隆哥开始采用PID Controller，只要适当调整P，I和D的参数，就可以到达目标位置，具体如下图所示；

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隆哥为了最短时间内到达目标位置，进行了不断的尝试，分别出现了以下几种情况；

跑得太快，最终导致冲过了目标位置还得往回跑；
跑得太慢，最终导致到达目标位置所用时间太长；

经过不断的尝试，终于找到了最佳的方式，其过程大概如下图所示；
简易PID算法的快速扫盲（超详细+过程推导+C语言程序）
这里依然举一个不是很恰当的比喻；

第一步：得到与目标位置的距离偏差（比如最开始是10米，后面会逐渐变小）；
第二步：根据误差，预估需要多少速度，如何估算呢，看下面几步；

P比例则是给定一个速度的大致范围，满足下面这个公式；

K_{p} * e (t) K_p*e(t)

Kp∗e(t)
因此比例作用相当于某一时刻的偏差（err）与比例系数

K_{p} K_p

Kp的乘积，具体如下所示；

简易PID算法的快速扫盲（超详细+过程推导+C语言程序）

绿色线为上述例子中从初始位置到目标位置的距离变化；
红色线为上述例子中从初始位置到目标位置的偏差变化，两者为互补的关系；

I积分则是误差在一定时间内的和，满足以下公式；

K_{i} \int_{_{0}}^{t} e (τ) d τ K_i\int_{_0}^te(\tau)d\tau

Ki∫0te(τ)dτ

如下图所示；简易PID算法的快速扫盲（超详细+过程推导+C语言程序）
红色曲线阴影部分面积即为积分作用的结果，其不断累积的误差，最终乘以积分系数

K_{i} K_i

Ki就得到了积分部分的输出；

D微分则是误差变化曲线某处的导数，或者说是某一点的斜率，因此这里需要引入微分；

K_{d} \frac{d e (t)}{d t} K_d \cfrac{de(t)}{dt}

Kddtde(t)
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从图中可知，当偏差变化过快，微分环节会输出较大的负数，作为抑制输出继续上升，从而抑制过冲。

综上，

K_{p} ， K_{i} ， K_{d} K_p，K_i，K_d

Kp，Ki，Kd，分别增加其中一项参数会对系统造成的影响总结如下表所示；

参数上升时间超调量响应时间稳态误差稳定性

K_{p} K_p

Kp
减少
增加
小变化
减少
降级

K_{i} K_i

Ki
减少
增加
增加
消除
降级

K_{d} K_d

Kd
微小的变化
减少
减少
理论上没有影响

K_{d} K_d

Kd小，稳定性会提升

4.2 理论基础

上面扯了这么多，无非是为了初步理解PID在负反馈系统中的调节作用，下面开始推导一下算法实现的具体过程；PID控制器的系统框图如下所示；

简易PID算法的快速扫盲（超详细+过程推导+C语言程序）

因此不难得出输入

e (t) e(t)

e(t)和输出

u (t) u(t)

u(t)的关系；

$u (t) = K_{p} e (t) + K_{i} \int_{0}^{t} e (τ) d τ + K_{d} \frac{d e (t)}{d t} u(t) = K_pe(t)+K_i\int_0^te(\tau)d\tau+K_d\cfrac{de(t)}{dt}$

u(t)=Kpe(t)+Ki∫0te(τ)dτ+Kddtde(t)

$K_{p} K_p$
Kp是比例增益；
$K_{i} K_i$
Ki是积分增益；
$K_{d} K_d$
Kd是微分增益；

4.3 离散化

在数字系统中进行PID算法控制，需要对上述算法进行离散化；假设系统采样时间为

Δ t \Delta t

Δt
则将输入

e (t) e(t)

e(t)序列化得到；

$(e_{0}, e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n - 2},, e_{n - 1}, e_{n}) (e_0,e_1,e_2,\cdots,e_{n-2},,e_{n-1},e_{n})$

(e0,e1,e2,⋯,en−2,,en−1,en)

将输出

u (t) u(t)

u(t)序列化得到；

(u_{0}, u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n - 2},, u_{n - 1}, u_{n}) (u_0,u_1,u_2,\cdots,u_{n-2},,u_{n-1},u_{n})

(u0,u1,u2,⋯,un−2,,un−1,un)

比例项：

K_{p} e (t) \overset{离 散 化}{\to} K_{p} e_{k} K_pe(t)\xrightarrow{离散化}K_pe_k

Kpe(t)离散化Kpek
积分项：

K_{i} \int_{0}^{t_{k}} e (τ) d τ \overset{离 散 化}{\to} K_{i} \sum_{i = 1}^{k} e (i) Δ t K_i\int_0^{t_k}e(\tau)d\tau\xrightarrow{离散化}K_i\displaystyle\sum_{i=1}^ke(i)\Delta t

Ki∫0tke(τ)dτ离散化Kii=1∑ke(i)Δt
微分项：

K_{d} \frac{d e (t_{k})}{d t} \overset{离 散 化}{\to} K_{d} \frac{e (k) - e (k - 1)}{Δ t} K_d\cfrac{de(t_k)}{dt}\xrightarrow{离散化}K_d\cfrac{e(k) -e(k-1)}{\Delta t}

Kddtde(tk)离散化KdΔte(k)−e(k−1)

所以最终可以得到式①，也就是网上所说的位置式PID：

u (k) = K_{p} e_{k} + K_{i} \sum_{i = 1}^{k} e (i) Δ t + K_{d} \frac{e (k) - e (k - 1)}{Δ t} \color{#0000FF} u(k)=K_pe_k+K_i\displaystyle\sum_{i=1}^ke(i)\Delta t+K_d\cfrac{e(k) -e(k-1)}{\Delta t}

u(k)=Kpek+Kii=1∑ke(i)Δt+KdΔte(k)−e(k−1)
将式①再做一下简化；

Δ u (k) = u (k) - u (k - 1) \Delta u(k) = u(k) – u(k-1)

Δu(k)=u(k)−u(k−1)
最终得到增量式PID的离散公式如下：

$Δ u (k) = K_{p} (e (k) - e (k - 1)) + K_{i} e (k) + K_{d} (e (k) - 2 e (k - 1) + e (k - 2)) \Delta u(k)=K_p(e(k)-e(k-1))+K_ie(k)+K_d \Big( e(k)-2e(k-1)+e(k-2) \Big)$

Δu(k)=Kp(e(k)−e(k−1))+Kie(k)+Kd(e(k)−2e(k−1)+e(k−2))

4.4 伪算法

这里简单总结一下增量式PID实现的伪算法；



previous_error := 0		//上一次偏差

integral := 0			//积分和
//循环

//采样周期为dt

loop:

	//setpoint 设定值

	//measured_value 反馈值

    error := setpoint − measured_value	//计算得到偏差

    integral := integral + error × dt	//计算得到积分累加和

    derivative := (error − previous_error) / dt	//计算得到微分

    output := Kp × error + Ki × integral + Kd × derivative	//计算得到PID输出

    previous_error := error	//保存当前偏差为下一次采样时所需要的历史偏差

    wait(dt)	//等待下一次采用

    goto loop


5 C++实现
这里是增量式PID算法的C语言实现；
pid.cpp
#ifndef _PID_SOURCE_

#define _PID_SOURCE_
#include <iostream>

#include <cmath>

#include "pid.h"
using namespace std;
class PIDImpl

{

    public:

        PIDImpl( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki );

        ~PIDImpl();

        double calculate( double setpoint, double pv );
    private:

        double _dt;

        double _max;

        double _min;

        double _Kp;

        double _Kd;

        double _Ki;

        double _pre_error;

        double _integral;

};
PID::PID( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki )

{

    pimpl = new PIDImpl(dt,max,min,Kp,Kd,Ki);

}

double PID::calculate( double setpoint, double pv )

{

    return pimpl->calculate(setpoint,pv);

}

PID::~PID()

{

    delete pimpl;

}
/**

 * Implementation

 */

PIDImpl::PIDImpl( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki ) :

    _dt(dt),

    _max(max),

    _min(min),

    _Kp(Kp),

    _Kd(Kd),

    _Ki(Ki),

    _pre_error(0),

    _integral(0)

{

}
double PIDImpl::calculate( double setpoint, double pv )

{
    // Calculate error

    double error = setpoint - pv;
    // Proportional term

    double Pout = _Kp * error;
    // Integral term

    _integral += error * _dt;

    double Iout = _Ki * _integral;
    // Derivative term

    double derivative = (error - _pre_error) / _dt;

    double Dout = _Kd * derivative;
    // Calculate total output

    double output = Pout + Iout + Dout;
    // Restrict to max/min

    if( output > _max )

        output = _max;

    else if( output < _min )

        output = _min;
    // Save error to previous error

    _pre_error = error;
    return output;

}
PIDImpl::~PIDImpl()

{

}
#endif


pid.h
#ifndef _PID_H_

#define _PID_H_
class PIDImpl;

class PID

{

    public:

        // Kp -  proportional gain

        // Ki -  Integral gain

        // Kd -  derivative gain

        // dt -  loop interval time

        // max - maximum value of manipulated variable

        // min - minimum value of manipulated variable

        PID( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki );
        // Returns the manipulated variable given a setpoint and current process value

        double calculate( double setpoint, double pv );

        ~PID();
    private:

        PIDImpl *pimpl;

};
#endif


pid_example.cpp
#include "pid.h"

#include <stdio.h>
int main() {
    PID pid = PID(0.1, 100, -100, 0.1, 0.01, 0.5);
    double val = 20;

    for (int i = 0; i < 100; i++) {

        double inc = pid.calculate(0, val);

        printf("val:% 7.3f inc:% 7.3f\n", val, inc);

        val += inc;

    }
    return 0;

}


编译并测试；
g++ -c pid.cpp -o pid.o

# To compile example code:

g++ pid_example.cpp pid.o -o pid_example



6 总结
本文总结了PID控制器算法在闭环系统中根据偏差变化的具体调节作用，每个环节可能对系统输出造成什么样的变化，给出了位置式和增量式离散PID算法的推导过程，并给出了位置式算法的C++程序实现。

由于作者能力和水平有限，文中难免存在错误和纰漏，请不吝赐教。

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