连续时间复指数信号解析与Matlab图像直观展现


连续时间指数信号

连续时间复指数函数:

x

(

t

)

=

C

e

a

t

x(t)=Ce^{at}

x(t)=Ceat

C

C

C 与

a

a

a 一般为复数

1 连续时间实指数信号

C

C

C 与

a

a

a 都是实数,则

x

(

t

)

x(t)

x(t) 为实指数信号

(高中知识)

2 连续时间周期复指数信号

x

(

t

)

=

C

e

a

t

a

=

σ

+

j

ω

x(t)=Ce^{at}\\ a=\sigma +j\omega

x(t)=Ceata=σ+jω

σ

\sigma

σ 是复数

a

a

a 的实部,

ω

\omega

ω 是复数

a

a

a 的虚部,则根据Euler’s formula(欧拉公式)

e

j

ω

t

=

c

o

s

(

ω

t

)

+

j

s

i

n

(

ω

t

)

e

j

ω

t

=

c

o

s

(

ω

t

)

j

s

i

n

(

ω

t

)

e^{j\omega t}=cos(\omega t)+jsin(\omega t)\\ e^{-j\omega t}=cos(\omega t)-jsin(\omega t)

ejωt=cos(ωt)+jsin(ωt)e−jωt=cos(ωt)−jsin(ωt)
则可以化为:

x

(

t

)

=

C

e

a

t

=

C

e

(

σ

+

j

ω

)

t

=

C

e

σ

t

e

j

ω

t

=

C

e

σ

t

[

c

o

s

(

ω

t

)

+

j

s

i

n

(

ω

t

)

]

=

C

e

σ

t

c

o

s

(

ω

t

)

+

j

C

e

σ

t

s

i

n

(

ω

t

)

x(t)=Ce^{at}=Ce^{(\sigma +j\omega)t}=Ce^{\sigma t}e^{j\omega t}=Ce^{\sigma t}[cos(\omega t)+jsin(\omega t)]=Ce^{\sigma t}cos(\omega t)+jCe^{\sigma t}sin(\omega t)

x(t)=Ceat=Ce(σ+jω)t=Ceσtejωt=Ceσt[cos(ωt)+jsin(ωt)]=Ceσtcos(ωt)+jCeσtsin(ωt)
此结果表明复指数信号可以分解为实、虚两部分,实部包含余弦信号,虚部包含正弦信号

2.1 当

a

a

a 是纯虚数,即

σ

=

0

\sigma = 0

σ=0 时

x

(

t

)

=

e

j

ω

0

t

x(t)=e^{j\omega_0t}

x(t)=ejω0​t

我们知道复指数函数

y

=

e

j

ω

0

t

y=e^{j\omega_0t}

y=ejω0​t 在空间中是一个螺旋前进的三维图像,它前进的方向是自变量序列

t

t

t 增大的方向

ω

\omega

ω 是旋转的速度。在右手系中,若令

x

x

x 轴表示

t

t

t ,

y

y

y 轴表示虚部,

z

z

z 轴表示实部,则从

t

t

t 的正方向往原点看去可以发现:当

ω

>

0

\omega>0

ω>0 时,图像顺时针旋转接近;当

ω

<

0

\omega<0

ω<0 时,图像逆时针旋转接近。

我们使用

M

a

t

l

a

b

Matlab

Matlab 绘图画出复指数

x

(

t

)

=

e

j

ω

0

t

x(t)=e^{j\omega_0t}

x(t)=ejω0​t 的图,以便于我们直观理解

程序部分在https://blog.csdn.net/ctyqy2015301200079/article/details/83787163的基础上修改

w = 1;                      %也可以改成-1
t = 0:0.1:20;
sigma = 0; %这个值为sigma值,后面讨论一般复指数函数有用
f=exp((sigma + 1j*w)*t);
L=length(t);
x=t; %以该复函数自变量t作为三维图像的x轴
y=imag(f); %以该复函数虚部作为三维图像的y轴
z=real(f); %以该复函数实部作为三维图像的z轴
y_0=zeros(size(t)); %获取y=0的点集
y_1=ones(size(t)); %获取y=1的点集
z_0=zeros(size(t)); %获取z=0的点集
z_1=ones(size(t)); %获取z=1的点集
plot3(x,y,z,'.b'); %绘制虚指数函数图像
hold on
grid on
x1=[x;x];
y1=[y;y_0];
z1=[z;z_0];
% 绘制复指数函数图像上的点对应的连线
for i=1:L
plot3(x1(:,i),y1(:,i),z1(:,i),'b');
end
% 绘制副部指数函数图像所绕的轴
plot3(x,y_0,z_0,'k');

% 绘制实部的在底面的投影图
plot3(x,y,-1*z_1,'.g');
% 绘制实部的点对应的连线
y2=[y;y_0];
z2=[-1*z_1;-1*z_1];
for i=1:L
plot3(x1(:,i),y2(:,i),z2(:,i),'g');
end

% 绘制虚部的在后面的投影图
plot3(x,y_1,z,'.r');
% 绘制虚部的点对应的连线
y3=[y_1;y_1];
z3=[z;z_0];
for i=1:L
plot3(x1(:,i),y3(:,i),z3(:,i),'r');
end

w

=

1

w=1

w=1 时:可以得到结果如图1所示,从

t

t

t 正方向往原点看去,图像的确顺时针靠近

连续时间复指数信号解析与Matlab图像直观展现

w

=

1

w=-1

w=−1时:可以得到结果如图2所示,从

t

t

t 正方向往原点看去,图像的确逆时针靠近

连续时间复指数信号解析与Matlab图像直观展现

上图自变量

t

t

t 变化范围为

[

0

,

20

]

[0,20]

[0,20] ,红色为实部,绿色为虚部,复数为蓝色,我们可以看到红色为余弦函数,绿色为正弦信号,

w

w

w 的正负改变了虚部的符号,所以我们可以看到当

w

w

w 变为

1

-1

−1 的时候,正弦信号反相。

我们可以很清楚的看到

x

(

t

)

=

e

j

ω

0

t

x(t)=e^{j\omega_0t}

x(t)=ejω0​t 是周期信号,且

e

j

ω

0

t

e^{j\omega_0t}

ejω0​t 与

e

j

ω

0

t

e^{-j\omega_0t}

e−jω0​t 周期相同 。下面我们从数学层面去证明:

如果存在:

e

j

ω

0

t

=

e

j

ω

0

(

t

+

T

)

e^{j\omega_0t}=e^{j\omega_0(t+T)}

ejω0​t=ejω0​(t+T)
则表示

x

(

t

)

=

e

j

ω

0

t

x(t)=e^{j\omega_0t}

x(t)=ejω0​t 是周期信号,要使

e

j

ω

0

t

=

e

j

ω

0

(

t

+

T

)

e^{j\omega_0t}=e^{j\omega_0(t+T)}

ejω0​t=ejω0​(t+T)
就必须有:

e

j

ω

0

t

=

e

j

ω

0

(

t

+

T

)

=

e

j

ω

0

t

e

j

ω

0

T

e^{j\omega_0t}=e^{j\omega_0(t+T)}=e^{j\omega_0t}e^{j\omega_0T}

ejω0​t=ejω0​(t+T)=ejω0​tejω0​T
则要有

e

j

ω

0

T

=

1

e^{j\omega_0T}=1

ejω0​T=1

ω

0

=

0

\omega_0=0

ω0​=0 ,则

x

(

t

)

=

1

x(t)=1

x(t)=1,这时对于任何

T

T

T 值都是周期性的,若

ω

0

0

\omega_0 ≠ 0

ω0​​=0,则有:

e

j

ω

0

T

=

c

o

s

(

ω

0

T

)

+

j

s

i

n

(

ω

0

T

)

=

1

e^{j\omega_0T}=cos(\omega_0 T)+jsin(\omega_0 T)=1

ejω0​T=cos(ω0​T)+jsin(ω0​T)=1
则我们知道要使上面式子成立(高中三角函数知识)则最小正

T

T

T 值,即基波周期

T

0

T_0

T0​ 应该为:

T

0

=

2

π

ω

0

T_0={\frac{2\pi}{|\omega_0|}}

T0​=∣ω0​∣2π​
可见

e

j

ω

0

t

e^{j\omega_0t}

ejω0​t 与

e

j

ω

0

t

e^{-j\omega_0t}

e−jω0​t 周期相同。证毕。

我们可以看到基波周期

T

0

T_0

T0​ 是与

ω

0

|\omega_0|

∣ω0​∣ 成反比的,也称

ω

0

\omega_0

ω0​ 是基波频率(fundamental frequency)

则我们可以讨论

ω

0

\omega_0

ω0​ 是如何影响信号性质的:

ω

0

\omega_0

ω0​ 与周期成反比,与振荡速率成正比(

T

=

1

/

f

T=1/f

T=1/f);当

ω

0

=

0

\omega_0=0

ω0​=0 时,

x

(

t

)

x(t)

x(t) 变为一个常数,如上面讨论的,我们可以说振荡速率为

0

0

0 ,振荡周期无穷大

我们计算周期复指数信号一周期的总能量和平均功率得到总能量为

T

0

T_0

T0​,平均功率为

1

1

1 。则我们可以得出在全部时间内积分总能量就是无穷大,平均功率总为

1

1

1 。也就是说周期复指数信号具有有限平均功率

3 连续时间一般复指数信号
3.1 当

a

a

a 不是纯虚数,即

σ

0

\sigma ≠ 0

σ​=0 时

由开头已经推导出:

x

(

t

)

=

C

e

a

t

=

C

e

σ

t

c

o

s

(

ω

t

)

+

j

C

e

σ

t

s

i

n

(

ω

t

)

x(t)=Ce^{at}=Ce^{\sigma t}cos(\omega t)+jCe^{\sigma t}sin(\omega t)

x(t)=Ceat=Ceσtcos(ωt)+jCeσtsin(ωt)
我们补充将

C

C

C 用极坐标表示,

a

a

a 不变用笛卡尔坐标来表示,

C

=

C

e

j

θ

a

=

σ

+

j

ω

C=|C|e^{j\theta}\\ a=\sigma +j\omega

C=∣C∣ejθa=σ+jω
则可以进一步展开为:

C

e

a

t

=

C

e

σ

t

c

o

s

(

ω

t

+

θ

)

+

j

C

e

σ

t

s

i

n

(

ω

t

+

θ

)

Ce^{at}=|C|e^{\sigma t}cos(\omega t+\theta)+j|C|e^{\sigma t}sin(\omega t+\theta)

Ceat=∣C∣eσtcos(ωt+θ)+j∣C∣eσtsin(ωt+θ)
则我们可以得出如下结论:

σ

=

0

\sigma = 0

σ=0 时,实部虚部都是正弦序列(正弦和余弦统称正弦信号)(等幅振荡)

σ

>

0

\sigma > 0

σ>0 时,实部与虚部是一个振幅呈指数增长的正弦信号。(增幅振荡)

σ

<

0

\sigma < 0

σ<0 时,实部与虚部是一个振幅呈指数衰减的正弦信号。(衰减振荡/阻尼正弦震荡(damped sinusoids))

我们修改上面

M

a

t

l

a

b

Matlab

Matlab 代码的 sigma 变量值来观察。

σ

=

0.1

>

0

\sigma = 0.1>0

σ=0.1>0 时,可以看到其为增幅震荡:

连续时间复指数信号解析与Matlab图像直观展现

σ

=

0.1

<

0

\sigma = -0.1<0

σ=−0.1<0 时,可以看到其为衰减震荡:

连续时间复指数信号解析与Matlab图像直观展现

参考 https://blog.csdn.net/lsywyy/article/details/96440059 代码
使用另一种方法也可以画出衰减振荡:

clc
clear
s=-0.1+1j*pi/2;
t=0:0.01:30;
f=exp(s.*t);
x=t;
y=imag(f);
z=real(f);
plot3(x,y,z,'-black');
grid on
hold on
%画轴
y_0=zeros(size(t)); %获取y=0的点集
z_0=zeros(size(t)); %获取z=0的点集
plot3(x,y_0,z_0,'-black');

画出图如下所示:

连续时间复指数信号解析与Matlab图像直观展现

最后

a

=

σ

+

j

ω

a=\sigma +j\omega

a=σ+jω 中

σ

\sigma

σ 与

ω

\omega

ω 都等于

0

0

0 的时候,变为直流信号。

原创:https://www.panoramacn.com
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