考研复习:有关连续的定理、间断点及其分类


连续
初等函数的连续性

一切基本初等函数都是其\pmb{定义域}上的连续函数

一切基本初等函数都是其定义域定义域定义域上的连续函数

(任何初等函数都是经有限次四则运算和复合运算得到的)

(任何初等函数都是经有限次四则运算和复合运算得到的)

所以,任何初等函数都是其\pmb{定义区间}上的连续函数

所以,任何初等函数都是其定义区间定义区间定义区间上的连续函数

最大值与最小值定理

f

f

f是定义在数集D上的函数,若存在任意

x

0

D

x_0∈D

x0​∈D,对一切

x

D

x∈D

x∈D,有

f

(

x

0

)

f

(

x

)

f(x_0)≥f(x)

f(x0​)≥f(x)
则称

f

f

f在D上有最大值。(最小值同理)

介值性定理

设函数

f

f

f在闭区间[a,b]上连续,

f

(

a

)

f

(

b

)

f(a)≠f(b)

f(a)​=f(b),有下图存在
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推论:根的存在性定理

设函数

f

f

f在闭区间[a,b]上连续,

f

(

a

)

f(a)

f(a)与

f

(

b

)

f(b)

f(b)异号,即(

f

(

a

)

f

(

b

)

<

0

f(a)f(b)<0

f(a)f(b)<0),则至少存在一点

x

0

(

a

,

b

)

x_0∈(a,b)

x0​∈(a,b),使得

f

(

x

)

=

0

f(x)=0

f(x)=0
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间断点及其分类

如果函数

f

f

f有定义,若

f

f

f在

x

0

x_0

x0​处无定义或有定义但不连续,则称

x

0

x_0

x0​为函数

f

f

f的间断点或不连续点。

如果

x

0

x_0

x0​为

f

f

f的间断点,则必会出现下列情形之一:

(条件一)

f

f

f在

x

0

x_0

x0​无定义,或极限

lim

x

 

x

0

f

(

x

)

\lim\limits_{x\rightarrow\ x_0}f(x)

x→ x0​lim​f(x)不存在

(条件二)

f

f

f在

x

0

x_0

x0​有定义,且极限

lim

x

 

x

0

f

(

x

)

\lim\limits_{x\rightarrow\ x_0}f(x)

x→ x0​lim​f(x)存在,但

lim

x

 

x

0

f

(

x

)

f

(

x

0

)

\lim\limits_{x\rightarrow\ x_0}f(x)≠f(x_0)

x→ x0​lim​f(x)​=f(x0​)

根据间断点的类型可以分为下面类型:
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